Muy buenos días y bienvenidos y bienvenidas a una nueva entrada tras estas vacaciones. Hoy os voy a enseñar a calcular el número de estrellas visibles en el cielo de cualquier magnitud mediante matemáticas que explicaré paso a paso. Tras ello os pondré un par de problemas de matemáticas avanzadas que también enseñaré a resolver con las propiedades logarítmicas. Procedamos a enseñar la fórmula y, posteriormente, a desgranarla.

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Seguramente al verla nos haya extrañado mucho. ¿Log? ¿N? ¿m? ¿m²? ¿m³?  Así que comenzaré por explicar los logaritmos.

El logaritmo decimal de N indica a qué número debemos elevar la cifra 10 para obtener la cifra N. Dicho en lenguaje matemático parece complejo, pero os pondré un ejemplo que os llevará a entenderlo fácilmente: el logaritmo decimal de 2 es 0.301 porque debemos elevar el número 10 a 0.301 para obtener el número 2. 

M… ¿qué es M? La variable ‘M’ hace referencia a la magnitud que seleccionemos como límite. Por ejemplo, si queremos saber cuántas estrellas hay de magnitud cinco, pondremos ‘5’ como ‘m’. Ahora procederé a calcular un ejemplo:

José vive en un pueblo de la Serranía Conquense y ha constatado que la estrella más tenue que ve es de magnitud 5,3. ¿Cuántas estrellas puede observar José en ese mismo instante?

Muy bien, tomemos ‘m’ como 5.3. La fórmula quedaría como

log(N) = -0.0003 · (5.3)³ + 0.0019 · (5.3)² + 0.484 · (5.3) -3.82

El logaritmo de N es, pues, -1.25. Tomando la definición de antes (el logaritmo en base diez de N es el número al que debemos elevar 10 para que dé N), elevamos 10 a -1.25 para obtener N. La letra ‘N’ es, pues,  0.056. ¿0.056 estrellas visibles en el cielo? ¡Qué me estás contando! No, no se alarmen, 0.056 estrellas por cada grado cuadrado. Contando con que el cielo abarca 41.253 grados cuadrados, multiplicaremos 0.056 por este número para obtener cuántas estrellas hasta la magnitud 5 abarca el firmamento. ¿El resultado? 2320.

¿Ya está? ¡Error! ¿Ve José todo el cielo, o solo el del hemisferio norte? Claro, por debajo del horizonte José no está viendo absolutamente nada. Partamos 2320 entre dos y obtendremos el número real de estrellas que está observando: 1160.

Solución: José está observando 1160 estrellas.

Pondré ahora otro más rebuscado.

Nuestro amigo Apolinar (si así se le puede considerar por hacernos calcularlo) nos dice, presumiendo: anoche vi el cielo y había 5.000 estrellas. Nosotros desconfiamos, ¿cómo calculamos, a partir del número de estrellas visibles, la magnitud límite del cielo de Apolinar? ¿Dirá realmente la verdad?

Nosotros, que no nos dejamos amedrentar por los números, llegamos a un razonamiento audaz. Desandamos el camino seguido antes.

5.000 estrellas ve nuestro compañero. Éstas son la mitad de las que vería en todo el cielo, por lo que realmente en ese momento el cielo alberga unas 10.000. Si alberga 10.000 en todo el cielo que, como hemos dicho, ocupa unos 41.253 grados cuadrados, albergará un total 0.242 estrellas por grado cuadrado, resultado de dividir el total de astros entre el total de metros cuadrados. Si seguimos atrás en la fórmula, veremos que ese número era el resultado de elevar 10 a un número, que ahora sí, desconocemos.

Si escribimos la incógnita en un papel, obtendremos que 10= 0.242. Una propiedad de los logaritmos es que su exponente puede, igualmente, pasar a multiplicar delante siempre y cuando la base se convierta en un logaritmo. Por ello, 10x se convierte en x·log(10). ¡Sorpresa! El logaritmo de 10 es igual a 1, por lo que podemos tacharlo. ¡La incógnita se nos queda ya sola! Pero no tan rápido. Dado que hemos transformado 10x en un logaritmo, deberemos hacer -para que se cumpla la igualdad- lo mismo con 0.242, que pasa a ser log(0.242).

Del monstruo de arriba hemos pasado a algo tan sencillo como echar mano de la calculadora y resolver: x·log(10) = log(0.242).

La incógnita de arriba queda como x = log(0.242). Y puesto que log(0.242) es igual a -0.616, la X que buscábamos es -0.616. Comprobamos que 10 elevado a -0.616 da, en efecto, 0.242 y seguimos. ¿Qué hacemos ahora con -0.616? Igualarlo a la fórmula de arriba.

-0.616 = -0.0003·m³ + 0.0019·m² + 0.484·m – 3.82

Ahí, en esa ‘m’ se encuentra la verdad o la falacia de Apolinar. Pasamos el -0.616 sumando al lado derecho para que nos quede una ecuación de tercer grado. Se nos queda, pues, que:

-0.0003·m³ + 0.0019·m² + 0.484·m -3.204 = 0

Tirando de calculadora -aunque existen numerosos métodos que no explicaré para no alargar esto mucho-, obtenemos que la ansiada m equivale a… *redoble de tambores*…

Solución 1: -40.3 (imposible, no estamos ciegos de momento).

Solución 2: 39.99 (no, no tenemos tan buen ojo).

Solución 3: 6.627 (sí, esta definitivamente sí que parece cabal).

Y dado que el ojo humano puede ver, excepcionalmente, hasta la magnitud 7 -o si no, vean la Escala de Bortle-, confirmamos que nuestro compañero Apolinar ha dicho la verdad.

Venga, si se han quedado con ganas, les pongo un tercero.

Calcula cuántas estrellas de magnitud 15 existen -aproximadamente- en el cielo.

Algún lector quizá ha saltado de la silla y se ha puesto a calcular con la fórmula de arriba, tomando ‘m’ como 15 y saliendo del paso. Este suele ser un problema de interpretación que nos pasa a todos, porque estamos aquí para hacer números y no analizar sintácticamente. Veamos ese ‘de magnitud 15’ y no ‘hasta magnitud 15’. Se nos pide una magnitud exacta. La pregunta ahora es, ¿cómo voy a hacer yo eso?

Es aquí cuando llega una reducción magistral. ¿Puedo calcular cuántas estrellas hay hasta la magnitud 15? Sí. ¿Y hasta la 16? También.¿Y para qué me sirve? A lo que se puede contestar con una pregunta: ¿la resta del total de estrellas visibles hasta la magnitud 16 y el total de estrellas visibles hasta la magnitud 15 no son el total de estrellas visibles en el rango de la magnitud 15.01 a la 15.99? Luego calculemos ambas y solo habrá que restar.

Sustituimos en la fórmula dada para la magnitud 16:

log(N) = -0.0003·(16)³ + 0.0019·(16)² + 0.484·(16) – 3.82.

log (N) = 3,182

Por tanto N es igual a 1519 estrellas por metro cuadrado visibles. Multiplicamos por 41.253 grados cuadrados que tiene el cielo y obtenemos sesenta y dos millones seiscientas sesenta y nueve mil cuatrocientas estrellas (62.669.400). Flamante.

Hacemos lo propio para la magnitud 15:

log(N) = -0.0003·(15)³ + 0.0019·(15)² + 0.484·(15) – 3.82

log(N) = 2,855

Por tanto la N es igual a 716,14 estrellas por metro cuadrado visibles. Multiplicamos de nuevo por 41.253 grados cuadrados -extensión del cielo- y obtenemos veintinueve millones quinientas cuarenta y tres mil sesenta y cuatro estrellas (29.543.064).

A la resta entre las estrellas visibles hasta la magnitud 16.00 y las estrellas visibles hasta la magnitud 15.00 obtenemos una diferencia, que corresponde al número de estrellas que andan entre dichas magnitudes, las que queremos conocer, las de magnitud 15. Esta resta es de 62.669.400 – 29.543.064 = 33.126.336 estrellas.

Solución: existen treinta y tres millones ciento veintiséis mil trescientas treinta y tres estrellas de magnitud 15 en el cielo.

Ahora que ya conocen las propiedades logarítmicas y cómo calcular el número de estrellas visibles o la magnitud de un cielo a partir de ellas, ya dominan el terreno de las Matemáticas con gran maestría. Ya pueden sorprender a sus amigos o interpretar mapas de conteo de estrellas. Incluso disfrutar sacando números absolutamente increíbles (debo reconocer que ese fue mi entretenimiento, sí).

Nunca se acostarán sin saber una cosa nueva, y hoy no ha sido una, sino varias. Espero que les haya gustado, no duden en hacerlo saber y, si así ha sido, comenzaré una serie de entradas matemáticas para calcular otras muchas cosas de forma explicada paso a paso. 

Tengan buenos días.

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2 comentarios en “Cómo calcular el número de estrellas visibles

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